城管部门的主要职责是负责城市市容市貌的管理，维护城市的秩序和环境卫生。因此，他们最害怕的投诉应该是涉及到他们的失职或不当行为的问题，比如：
1. 市容环境脏乱差：如垃圾清理不及时、乱倒垃圾、乱贴小广告等； 2. 占道经营：如路边摊贩、夜市、露天市场等； 3. 违章建筑：如私搭乱建、破坏绿化等行为； 4. 噪音污染：如夜间施工、音响广告、广场舞等； 5. 其他违反城市管理法规的行为。
总的来说，城管部门应该积极接受公众的监督和建议，不断改进工作方式和服务质量，为市民创造一个整洁、有序的城市生活环境。